✎ ☛ Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

Méthode

Pour vérifier qu'une fonction \(f\) est solution d'une équation différentielle :

• calculer la ou les dérivées successives de \(f\) présentes dans l'équation ;
  
• remplacer, dans le second membre de l'équation, la fonction \(f\) et sa ou ses dérivées successives ;
  
• vérifier que les deux membres donnent le même résultat.
  

Énoncé

Soit \((E)\) l'équation différentielle \(y'=-4y+12\) . Démontrer que la fonction définie sur \(\mathbb R\) par  \(f(t) = 2\text e^{-4t}+3\)  est solution sur \(\mathbb R\)  de \((E)\) .

Solution  

Soit \(t\) un réel.

• On a \(f'(t)=-8\text e^{-4t}\) .
  
• On a \(-4f(t)+12=-4\times (2\text e^{-4t}+3)+12=-8\text e^{-4t}-12+12=-8\text e^{-4t}\) .

Conclusion
Pour tout réel  \(t\) , on a  \(f'(t)=-4f(t)+12\) , ce qui signifie que \(f\) est solution sur \(\mathbb R\) de \((E)\) .